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课程介绍

教学内容

分支

1. 微积分 Calculus

微积分 = 函数 + 极限 + 导数 + 微分 + 积分
1. 基础概念
   函数 · 数列 · 级数 · 极限
   初等函数·无穷小量·收敛数列
   收敛性 · 夹挤定理
   连续 · 一致连续 · 间断点
   极限 连续
   数列的极限
   函数的极限
   函数的连续性
   

2. 一元微分 Differential calculus
   导数 · 高阶导数 · 介值定理 · 中值定理 （罗尔定理 · 拉格朗日中值定理 · 柯西中值定理） · 泰勒公式 · 求导法则 ( 乘法定则 · 除法定则 · 倒数定则 · 链式法则 ) · 洛必达法则 · 导数列表 · 导数的函数应用 ( 单调性 · 极值 · 驻点 · 拐点 · 凹凸性 · 曲率 )
   导数与微分
   基本函数的导数表
   微分
   微分在近似计算中的应用
   中值定理与导数的应用
   中值定理
   洛必达法则
   函数图形的特性及其判定
   分数阶微积分 fractional calculus `d^1.5/dx^1.5` cos(x)

3. 积分 Integral

4. 一元积分 Univariable Integral
   不定积分
   积分的定义 ( 黎曼积分 · 达布积分 · 勒贝格积分 ) · 积分表 · 求积分的技巧 ( 换元积分法 · 分部积分法 · 三角换元法 · 降次积分法 · 部分分式积分法 ) · 牛顿-莱布尼茨公式 · 广义积分 · 主值 · 柯西主值 · Β函数 · 伽马函数 Γ(x)

   定积分 Definite integral
   定积分表
   定积分的近似计算
   数值积分 · 牛顿-寇次公式 · 近似积分法 ( 矩形法 · 梯形法 · 辛普森积分法 )
   无穷限的广义积分的审敛法
   无界函数的广义积分的审敛法
   定积分的应用
   定积分的微元法
   几何应用
   平均值
   

   分数阶积分 fractional integral `int cos(x) (dx)^0.5 = d^-0.5/dx^-0.5` cos(x)

5. 多元微积分 Multivariable calculus
   多元函数 · 偏导数 · 隐函数 · 全微分 · 方向导数 · 梯度 · 泰勒公式 · 拉格朗日乘数 · 多元函数积分 · 多重积分 · 广义多重积分 · 路径积分 · 曲面积分 · 格林公式 · 高斯公式 · 斯托克斯公式 · 散度 · 旋度

6. 多元函数微分法及其应用
   多元函数
   闭区域上连续函数的性质
   偏导数
   全微分
   全微分在近似计算中的应用
   微分法在几何上的应用
   多元函数的极值和最大(小)值
   二元函数的泰勒公式
   

7. 重积分 Multiintegral
   二重积分的概念与计算
   二重积分的计算方法
   二重积分的换元法
   二重积分的应用
   三重积分的概念及其计算法
   含参变量的积分
   曲线积分与曲面积分
   曲线积分的定义、性质和计算
   格林公式 平面上曲线积分与路径无关的条件
   曲面积分的定义、性质和计算
   高斯公式 通量与散度
   斯托克斯公式 环流量与旋度
   向量微分算子
   

8. 级数 Series
   

   §1 数项级数的基本概念和性质 §2 正项级数收敛判别法 §3 变号级数及其收敛判别法 §4 函数项级数的收敛与一致收敛性 §5 函数项级数一致收敛判别法 §6 函数项级数的运算及其条件 §7 泰勒级数 §8 幂级数 §9 函数的幂级数展开

   傅立叶级数
   傅立叶级数的复数形式
   函数的傅立叶级数展开式表
   

2. 线性代数 Linear algebra ?

   行列式
   矩阵
   矩阵及其基本运算
   线性方程组
   

3. 解析几何 Analytic geometry

   解析几何 = 平面解析几何 + 空间解析几何。
   o 在平面解析几何中，除了研究直线的有关直线的性质外，主要是研究圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质。
   o 在空间解析几何中，除了研究平面、直线有关性质外，主要研究柱面、锥面、旋转曲面。
   1. 平面解析几何 Plane Analytic geometry ?
      1. 坐标变换
         平面解析几何的三个基本公式
         平面上直线
         常用曲线的极坐标方程及参数方程
         
      2. 二次曲线
         圆
         椭圆
         双曲线
         抛物线
         一般二次曲线
         
   2. 空间解析几何 Space Analytic geometry
      向量代数
      空间直角坐标系
      向量及其线性运算
      向量的坐标表达式及其有关问题
      向量间的乘积
      平面方程的各种形式
      空间曲面与曲线
      

      二次曲面
      球面
      椭球面
      双曲面
      抛物面
      二次锥面与柱面
      一般二次曲面
      

4. 微分几何 Differental geometry

微分几何 = 平面曲线 + 空间曲线 + 曲面
1. 平面曲线
   1.平面曲线的切线，法线，切距，法距，次切距，次法距，切线倾斜度
   2.两条平面曲线的夹角
   3.平面曲线曲率，曲率半径，曲率圆（密切圆），曲率中心
   4.平面曲线的等距线
   5.平面曲线的渐屈线和渐开线
   6.平面曲线族的包络线
   7. 重要平面曲线表 - 标准正态分布曲线 (高斯曲线) gauss(x)
   
2. 空间曲线
   1.空间曲线的切线，法面，密切面，主法线，副法线，从切面，活动标架
   2.空间曲线的曲率
   3.空间曲线的挠率
   4.圆柱螺旋线
   5.圆锥螺旋线
   6.空间曲线的渐开线和渐屈线
   
3. 曲面
   1.曲面上一点的切线和法线
   2.曲面上一点的主法截线，主方向，主曲率半径，脐点
   3.曲面上任意曲线的曲率半径
   4.曲面上曲线的测地曲率，测地线
   5. 螺旋面
   6.渐开螺旋面
   7.阿基米德螺旋面
   8.直纹面 - 可展曲面
   9.单参数平面族的包络面 - 可展曲面
   10. 一般曲面
   
5. 黎曼几何
6. 场论
7. 抽象代数*线性空间 Abstract algebra - linear space
   空间 - 线性空间 - 线性子空间 - 线性变换 - 欧氏空间
8. 泛函分析 Functional Analysis
9. 复变函数 Complex function
10. 积分变换 Integral transform
    傅立叶级数 Fourier series
    傅立叶变换 Fourier transform
    拉普拉斯变换 Laplace transform
11. 特殊函数 Special function
12. 微分方程 Differential equation
    微分方程的基本概念
    一阶微分方程
    一阶微分方程的可积类型
    高阶微分方程的特殊类型
    高阶线性微分方程
    
13. 常微分方程 Ordinary differential equation (ODE)
    常微分方程 · 分离变数法 · 积分因子 · 欧拉方法 · 柯西-欧拉方程 · 伯努利微分方程 · 克莱罗方程 · 全微分方程 · 线性微分方程 · 差分方程 · 拉普拉斯变换
14. 偏微分方程 Partial differential equation (PDE)
    偏微分方程 · 拉普拉斯方程
15. 分数阶微分方程 Fractional differential equation (FDE)
    `(d^1.5y)/dx^1.5` = cos(x)
16. 积分方程 Integral equation
17. 随机过程 stochastic processes
18. 概率统计 Statistical probability ?
    概率统计 = 概率 + 统计
19. 误差理论与实验数据处理 Error theory
20. 最优化方法 Optimization
21. 有限元法 Finite element method
22. 集论 Set theory
23. 拓扑学 Topology

例题

书单