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连分数

简单连分数

α为实数(有理数或无理数),则可表成简单连分数 \[ \alpha = a_0 + \frac{1}{{a_1 + \frac{1}{{a_2 + \frac{1}{{\begin{array}{*{20}c} \ddots & \cdots \\ {} & { + \frac{1}{{a_n + \frac{1}{{a_{n + 1} + \ddots }}}}} \\ \end{array}}}}}}} \] 简记为\[ a_0 + \frac{1}{{a_1 }}\begin{array}{*{20}c} {} \\ + \\ \end{array}\frac{1}{{a_2 }}\begin{array}{*{20}c} {} \\ + \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {} \\ \cdots \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {} \\ + \\ \end{array}\frac{1}{{a_n }}\begin{array}{*{20}c} {} \\ + \\ \end{array}\frac{1}{{a_{n + 1} }}\begin{array}{*{20}c} {} \\ + \\ \end{array}\begin{array}{*{20}c} {} \\ \cdots \\ \end{array} \] 或\[ \left[ {a_0 ,a_1 ,a_2 , \cdots ,a_n ,a_{n + 1} , \cdots } \right] \] 式中a0为整数,a1,a2,…,aN为正整数,

α为有理数\( \left( {\alpha = \frac{a}{b}} \right) \),则必可展成有限连分数\[ \frac{a}{b} = \left[ {a_0 ,a_1 , \cdots ,a_N } \right] \] 式中a0,a1,…,aN是由辗转相除法所得到的一列不完全商.如果规定最后一个不完全商大于1,即当an=1时,可写成\[ \left[ {a_0 ,a_1 , \cdots ,a_{N - 1} ,1} \right] = \left[ {a_0 ,a_1 , \cdots ,a_{N - 1} + 1} \right] \] 则表法唯一.

a为无理数,则可展成无限连分数,且表法唯一.

完全商与不完全商

简单连分数中称为ai(i=0,1,…)称为α的的第i个不完全商.数[an,an+1,…]=αn称为α的第n个完全商.显然α0=α

完全商与不完全商的关系: \[ a_n = \left[ {\alpha _n } \right] \le \alpha _n < \left[ {\alpha _n } \right] + 1 = a_n + 1 \] \[ \alpha _n = a_n + \frac{1}{{\alpha _{n + 1} }},\alpha _{n + 1} = \frac{1}{{\alpha _n - a_n }} \] \[ \begin{array}{*{20}c} {\alpha = \alpha _0 = \frac{{\alpha _{n + 1} p_n + p_{n + 1} }}{{\alpha _{n - 1} q_{n + } + q_{n - 1} }}} & {\left( {n = 0,1,2, \cdots } \right)} \\ \end{array} \] 式中为pn,qn的第n个渐近分数的分子和分母(见下).

渐近分数与最佳渐近分数

简单连分数中截取 \[ \left[ {a_0 ,a_1 , \cdots a_n } \right] = \frac{{p_n }}{{q_n }} \] 称为α的第n个渐近分数.渐近分数都为既约分数.

1°渐近分数的等式与不等式 \[ \frac{{p_{n + 1} }}{{q_{n + 1} }} = \frac{{\alpha _{n + 1} p_n + p_{n - 1} }}{{\alpha _{n + 1} q_n + q_{n - 1} }} \] \[ \left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}c} {p_{n + 1} = \alpha _{n + 1} p_n + p_{n - 1} } & {\left( {n = 0,1,2, \cdots } \right)} \\ \end{array} \\ p_{ - 1} = 1,p_0 = \alpha _0 \\ \end{array} \right. \] \[ \left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}c} {q_{n + 1} = \alpha _{n + 1} q_n + q_{n - 1} } & {\left( {n = 0,1,2, \cdots } \right)} \\ \end{array} \\ q_{ - 1} = 1,p_0 = \alpha _0 \\ \end{array} \right. \] \[ \left( {q_n ,q_{n - 1} = 1} \right) \] \[ a_n q_{n - 1} < q_n < 2a_n q_{n - 1} \] \[ \frac{{\alpha _n }}{{q_{n - 1} }} = \left[ {a_n ,a_{n - 1} , \cdots ,a_1 ,a_0 } \right] \] \[ q_n \ge \left( {\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}} \right)^{n - 1} \left( {n \ge 0} \right) \] \[ \left( {\frac{{a + \sqrt {a^2 + 4} }}{2}} \right)^{n - 1} \le q_n \le \left( {\frac{{b + \sqrt {b^2 + 4} }}{2}} \right)^n \] \[ \begin{array}{*{20}c} {} & {} & {\left( {当a \le a_i \le b\left( {i \ge 1} \right)时} \right)} \\ \end{array} \] \[ \begin{array}{*{20}c} {\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \sqrt[n]{{q_n }} = \beta > 1} & {\left( 当\alpha为实二次无理数时 \right)} \\ \end{array} \] \[ p_n q_{n - 1} - p_{n - 1} q_n = \left( { - 1} \right)^{n - 1} \left( {n \ge 1} \right) \] \[ \frac{{p_n }}{{q_n }} - \frac{{p_{n - 1} }}{{q_{n - 1} }} = \frac{{\left( { - 1} \right)^{n - 1} }}{{q_n q_{n - 1} }} \] \[ p_n q_{n - 2} - p_{n - 2} q_n = \left( { - 1} \right)^n a_n \left( {n \ge 2} \right) \] \[ \begin{array}{*{20}c} {\frac{{p_{2n + 1} }}{{q_{2n + 1} }} < \frac{{p_{2n - 1} }}{{q_{2n - 1} }},\frac{{p_{2n} }}{{q_{2n} }} > \frac{{p_{2n - 2} }}{{q_{2n - 2} }}} & {n \ge 1} \\ \end{array} \] \[ q_n \alpha - p_n = \frac{{\left( { - 1} \right)^n \delta _n }}{{q_{n + 1} }},0 < \delta _n < 1 \] (式中\( \frac{{\delta _n }}{{q_{n + 1} }} \) 为n的递减函数。α为有理数时,此式仅当\( 1 \le n \le N - 2 \) 时成立,\( \delta _{N - 1} = 1 \) ) \[ \left| {\alpha - \frac{{p_n }}{{q_n }}} \right| = \frac{1}{{q_n \left( {\alpha _{n + 1} q_n + q_{n - 1} } \right)}} \] \[ \left| {\alpha - \frac{{p_n }}{{q_n }}} \right| \le \frac{1}{{q_n q_{n + 1} }} < \frac{1}{{\alpha _{n + 1} q_n ^2 }} \le \frac{1}{{q_n ^2 }} \]

2°设n≥1,0

α的两个相邻渐近分数中必有一个\( \frac{p}{q} \) 适合于\[ \left| {\alpha - \frac{p}{q}} \right| < \frac{1}{{2q^2 }} \] 4°α的三个相邻渐近分数中必有一个\( \frac{p}{q} \) 适合于\[ \left| {\alpha - \frac{p}{q}} \right| < \frac{1}{{\sqrt 5 q^2 }} \] 5°设α为实数,\( \frac{a}{b} \) 为有理数,M为正整数.若α适合于不等式 \[ \left| {\alpha - \frac{a}{b}} \right| < \frac{1}{{Mb^2 }} \] 则α展成连分数的不完全商至少有一个大于M-2.


参阅
  1. 数学 - 数学符号 - 数学索引
  2. 手册 - 数学手册 - 实用数学手册
  3. 初等数学 = 中学数学 = 初中数学 + 高中数学
  4. 高等数学 = 代数 + 几何 + 分析
  5. 公式 - 图表 - 动画 - 立体图
  6. 书单 = 数学 + 物理 + 化学 + 计算机 + 医学 + 英语 - QQ群 614057790 下截书
  7. 数学软件 - 数学手册计算器 = 数学 + 手册 + 计算器
  8. 例题:

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