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海伦公式

海伦公式

$a,b,c$为三角形三边长,$p = \frac{1}{2}\left( {a + b + c} \right)$,则三角形面积 $S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} $

证明

$S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}ab\sqrt {1 - \cos ^2 C} $

在△ABC中,由余弦定理可得:

$\cos C = \frac{{a^2 + b^2 - c^2 }}{{2ab}}$

代入上式可得

$S = \frac{1}{2}ab\sqrt {1 - \frac{{\left( {a^2 + b^2 - c^2 } \right)^2 }}{{4a^2 b^2 }}} = \frac{1}{2}ab\sqrt {\frac{{4a^2 b^2 - \left( {a^2 + b^2 - c^2 } \right)^2 }}{{4a^2 b^2 }}} $

$ = \sqrt {\frac{{4a^2 b^2 - \left( {a^2 + b^2 - c^2 } \right)^2 }}{{16}}} = \sqrt {\frac{{\left( {2ab + a^2 + b^2 - c^2 } \right)\left( {2ab - a^2 - b^2 + c^2 } \right)}}{{16}}} $

$ = \sqrt {\frac{{\left[ {\left( {a + b} \right)^2 - c^2 } \right]\left[ {c^2 - \left( {a - b} \right)^2 } \right]}}{{16}}} = \sqrt {\frac{{\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)\left( {c + a - b} \right)\left( {c - a + b} \right)}}{{16}}} $

又$p = \frac{1}{2}\left( {a + b + c} \right)$ , 故$\frac{{a + b - c}}{2} = \frac{{2p - 2c}}{2} = p - c$ ,$\frac{{c + a - b}}{2} = \frac{{2p - 2b}}{2} = p - b$ ,$\frac{{c - a + b}}{2} = \frac{{2p - 2a}}{2} = p - a$ ,故$S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} $. 


参阅
  1. 数学 - 数学符号 - 数学索引
  2. 手册 - 数学手册 - 实用数学手册
  3. 初等数学 = 中学数学 = 初中数学 + 高中数学
  4. 高等数学 = 代数 + 几何 + 分析
  5. 公式 - 图表 - 动画 - 立体图
  6. 书单 = 数学 + 物理 + 化学 + 计算机 + 医学 + 英语 - QQ群 614057790 下截书
  7. 数学软件 - 数学手册计算器 = 数学 + 手册 + 计算器
  8. 例题:

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