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杨辉三角形, 二项式定理与多项式定理

[二项式定理] \[ \begin{array}{l} \left( {a + b} \right)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n - 1} b + C_n^2 a^{n - 2} b^2 + \cdots + C_n^{n - 1} ab^{n - 1} + C_n^n b^n \\ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k a^{n - k} b^k } \\ \end{array} \] 式中n为正整数, \[ C_n^k \] 称为二项系数.

[杨辉三角形] 我国南宋时期数学家杨辉在他所著的《详解九章算法》(1261年)中记载着有关二项系数的研究.在二项式定理中,当n分别取0, 1, 2, 3, 4, 5, 6时,其二项系数表示成图

即所谓“杨辉三角形”.法国人帕斯卡也有类似结果(1650年),故外国书刊中称之为“帕斯卡三角形”,但比杨辉晚了近四百年.

[多项式定理] \[ \left( {a + b + \cdots + f} \right)^n = \sum\limits_{p + q + \cdots + s = n}^{} {\frac{{n!}}{{p!q! \cdots s!}}a^p b^q \cdots f^s } \] 和式中每一数组(p,q,…,s)对应一项,这个数组满足0≤pn,0≤qn,…,0≤snp+q+…+s=n,Σ是对于所有这样的数组求和.


参阅
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