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中线定理, 斯图尔特定理

中线定理

AM是△ABCBC边上的中线,则有$AB^2 + AC^2 = 2\left( {AM^2 + BM^2 } \right)$

中线定理证明

过点ABC的垂线AM, 垂足为D.在Rt△ABD中,由勾股定理可知,$AB^2 = AD^2 + BD^2 $;同理,$AC^2 = AD^2 + CD^2 $,$AM^2 = AD^2 + DM^2 $

又$BD = BM + DM$,$CD = CM - DM$ ,$BM = CM$,

故$AB^2 + AC^2 = 2AD^2 + BD^2 + CD^2$$ = 2\left( {AM^2 - DM^2 } \right) + \left( {BM + DM} \right)^2 + \left( {CM - DM} \right)^2 $ $ = 2\left( {AM^2 - DM^2 } \right) + BM^2 + DM^2 + CM^2 + DM^2 $

斯德瓦尔特定理

ABC中,DBC上任意一点,则有 $AB^2 \cdot CD + AC^2 \cdot BD = AD^2 \cdot BC + BD \cdot CD \cdot BC$

斯德瓦尔特定理证明

ABC的垂线,垂足为E,则有$AB^2 = AE^2 + BE^2 $ ,$AC^2 = AE^2 + CE^2 $,$AD^2 = AE^2 + DE^2 $,故$AB^2 \cdot CD + AC^2 \cdot BD - AD^2 \cdot BC $$= \left( {AE^2 + BE^2 } \right) \cdot CD + \left( {AE^2 + CE^2 } \right) \cdot BD - \left( {AE^2 + DE^2 } \right) \cdot BC $$= AE^2 \left( {CD + BD - BC} \right) + BE^2 \cdot CD + CE^2 \cdot BD - DE^2 \cdot BC$ $ = BE^2 \cdot CD + CE^2 \cdot BD - DE^2 \cdot BC = \left( {BD + DE} \right)^2 \cdot CD + \left( {CD - DE} \right)^2 \cdot BD$ $ = BE^2 \cdot CD + CE^2 \cdot BD - DE^2 \cdot BC$$ = \left( {BD + DE} \right)^2 \cdot CD + \left( {CD - DE} \right)^2 \cdot BD$ $ - DE^2 \cdot BC = \left( {BD^2 + DE^2 + 2BD \cdot DE} \right) \cdot CD + \left( {CD^2 + DE^2 - 2CD \cdot DE} \right) \cdot BD$ $ - DE^2 \cdot BC = BD^2 \cdot CD + CD^2 \cdot BD + DE^2 \cdot BC - DE^2 \cdot BC $$= BD^2 \cdot CD + CD^2 \cdot BD$

即$AB^2 \cdot CD + AC^2 \cdot BD = AD^2 \cdot BC + BD \cdot CD \cdot BC$

由斯德瓦尔特定理可以得出很多有用的结论,比如上例,令本例中$BD = CD$,则很快得出上例的结论以及中线长的公式,一般地,只要$\Delta ABC$的三条边已知,BC上一点D的位置已知,则AD的长度便可直接求出来.此外,用余弦定理证明斯德瓦尔特定理也是很快的:

在△ABC中,由余弦定理可知,$AB^2 = AD^2 + BD^2 - 2AD \cdot BD\cos \angle ADB$ ;

在△ACD中,由余弦定理可知,$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2AD \cdot CD\cos \angle ADC$ ;

故$AB^2 \cdot CD + AC^2 \cdot BD - AD^2 \cdot BC$$ = AD^2 \cdot CD + BD^2 \cdot CD + AD^2 \cdot BD + CD^2 \cdot BD$ $ - AD^2 \cdot BC = AD^2 \cdot BC + BD \cdot CD \cdot BC - AD^2 \cdot BC $$= BD \cdot CD \cdot BC$


参阅
  1. 数学 - 数学符号 - 数学索引
  2. 手册 - 数学手册 - 实用数学手册
  3. 初等数学 = 中学数学 = 初中数学 + 高中数学
  4. 高等数学 = 代数 + 几何 + 分析
  5. 公式 - 图表 - 动画 - 立体图
  6. 书单 = 数学 + 物理 + 化学 + 计算机 + 医学 + 英语 - QQ群 614057790 下截书
  7. 数学软件 - 数学手册计算器 = 数学 + 手册 + 计算器
  8. 例题:

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