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多重对数函数

多重对数函数英语:polylogarithm,也称:Jonquière's function)是数学中一种特殊的幂级数,定义为:

polylog(s,z) =

一般来说,多重对数函数不像对数函数那样是一个初等函数。上述定义中,自变量|z| < 1,s对所有复数值有效。通过解析延拓,可以将z的定义域扩展到更大的范围。

复平面上几种不同的多重对数函数
Complex polylogminus3.jpg
Complex polylogminus2.jpg
Complex polylogminus1.jpg
Complex polylog0.jpg
Complex polylog1.jpg
Complex polylog2.jpg
Complex polylog3.jpg

s = 1时的多重对数函数可以用自然对数表示
polylog(1,z) = Li1(z) = −ln(1−z),
s = 2时, 可以用 2重对数函数称为
dilogarithm = dilog(x) = polylog(2,x),

其名称的由来是多重对数函数表示为以下的递回积分式:

因此s = 2的多重对数函数可表示为自然对数的积分,以此类推。若其阶数s为零或负的整数,其多重对数函数为有理函数

多重对数函数出现在费米-狄拉克分布玻色-爱因斯坦分布解析解的积分式中,因此也称为费米-狄拉克积分玻色-爱因斯坦积分


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