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非欧几何

三级学科,      专业名称:非欧几何,      门类/类别:理学,      学科/类别:数学/几何学

非欧几里得几何是指不同于欧几里得几何学的几何体系,简称为非欧几何,一般是指罗巴切夫斯基几何(双曲几何)和黎曼的椭圆几何。它们与欧氏几何最主要的区别在于公理体系中采用了不同的平行定理。

非欧几何 = 球面几何 + 罗氏几何(双曲几何) + 黎曼几何(椭圆几何)

非欧几里得几何诞生

从古希腊时代到公元1800年间,许多数学家都尝试用欧几里得几何中的其他公理来证明欧几里得的平行公理,但是结果都归于失败。

另一方面,欧几里得几何的五条公理并未具有完备性。例如,该几何中有定理:在任意直线段上可作一等边三角形。他用通常的方法进行构造:以线段为半径,分别以线段的两个端点为圆心作圆,将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而,他的公理并不保证这两个圆必定相交。 因此,许多公理系统的修订版本被提出,其中有希尔伯特公理系统。

其中公理五又称之为平行公设(Parallel Postulate),叙述比较复杂,并不像其他公理那么显然。这个公设衍生出“三角形内角和等于一百八十度”的定理。在高斯(F. Gauss)的时代,公设五就备受质疑,俄罗斯数学家罗巴切夫斯基(Nikolay Ivanovitch Lobachevski)、匈牙利人波尔约(Bolyai)阐明第五公设只是公理系统的一种可能选择,并非必然的几何真理,也就是“三角形内角和不一定等于一百八十度”,从而发现非欧几里得的几何学,即“非欧几何”(non-Euclidean geometry)。

19世纪,德国数学家高斯、俄国数学家罗巴切夫斯基、匈牙利数学家波尔约等人各自独立地认识到这种证明是不可能的。也就是说,平行公理是独立于其他公理的,并且可以用不同的“平行公理”来替代它。 高斯关于非欧几何的信件和笔记在他生前一直没有公开发表,只是在他1855年去世后出版时才引起人们的注意 。罗巴切夫斯基和波尔约分别在1830年前后发表了他们关于非欧几何的理论。在这种几何里,罗巴切夫斯基平行公理替代了欧几里得平行公理,即在一个平面上,过已知直线外一点至少有两条直线与该直线不相交。由此可演绎出一系列全无矛盾的结论,并且可以得出三角形的内角和小于两直角。罗氏几何中有许多不同于欧氏几何的定理。

继罗氏几何后,德国数学家黎曼在1854年又提出了既不是欧氏几何也不是罗氏几何的新的非欧几何。这种几何采用如下公理替代欧几里得平行公理:同一平面上的任何两直线一定相交。同时,还对欧氏几何的其他公理做了部分改动。在这种几何里,三角形的内角和大于两直角。人们把这种几何称为椭圆几何。
直到1868年,意大利数学家贝尔特拉米在他出版的《非欧几何解释的尝试》中,证明了非欧平面几何可以局部地在欧氏空间中实现 。1871年,德国数学家克莱因认识到从射影几何中可以推导度量几何,并建立了非欧几何模型。这样, 非欧几何的相容性问题就归结为欧氏几何的相容性问题,由此非欧几何得到了普遍的承认。

内容

非欧几何

总体上说,上述的几何都是在欧氏空间的几何结构--即平坦的空间结构--背景下考察,而没有真正关注弯曲空间下的几何结构。欧几里得几何公理本质上是描述平坦空间的几何特性,特别是第五公设引起了人们对其正确性的疑虑。由此人们开始关注其弯曲空间的几何, 即“非欧几何”。

在欧几里德的时代,实际空间和几何空间之间没有明显的区别,但自从十九世纪发现非欧几何后,空间的概念有了大幅的调整,也开始出现哪一种几何空间最符合实际空间的问题。在二十世纪形式数学兴起以后, 空间(包括点、线、面)已没有其直观的概念在内。今日需要区分实体空间、几何空间(点、线、面仍没有其直观的概念在内)以及抽象空间。当代的几何学考虑流形,空间的概念比欧几里德中的更加抽象,两者只在极小尺寸下才彼此近似。 这些空间可以加入额外的结构,因此可以考虑其长度。近代的几何学和物理关系密切,就像伪黎曼流形和广义相对论的关系一样。物理理论中最年轻的弦理论也和几何学有密切关系。

非欧几何中包括了最经典几类几何学课题, 比如“球面几何”,“罗氏几何”等等。

内蕴几何

一个几何概念如果和几何物体所处的空间位置无关,而只和其本身的性态相关,我们就说它是内蕴的。用物理的语言来说,就是几何性质必须和参考系选取无关。 哪些几何概念是内蕴性质的?这是当时最重要的理论问题。高斯发现了曲面的曲率(即反映弯曲程度的量)竟然是内蕴的---尽管它的原始定义看上去和所处的大空间位置有关。这个重要发现就称为高斯绝妙定理。古典几何的另一个重要发现就是高斯-博纳特公式, 它反映了曲率和弯曲空间里的三角形三角之和的关系。

罗氏几何

罗巴切夫斯基几何的公理系统和欧几里得几何不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“在平面内,从直线外一点,至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替,其他公理基本相同。由于平行公理不同,经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。
我们知道,罗氏几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。因此,凡是不涉及到平行公理的几何命题,在欧式几何中如果是正确的,在罗氏几何中也同样是正确的。在欧式几何中,凡涉及到平行公理的命题,在罗氏几何中都不成立,他们都相应地含有新的意义。所以罗氏几何中的一些几何事实没有像欧式几何那样容易被接受。但是,数学家们经过研究,提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗氏几何是正确的。
1868年,意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》,证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面(例如拟球曲面)上实现。这就是说,非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题,如果欧几里得几何没有矛盾,非欧几何也就自然没有矛盾。
直到这时,长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究,罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美,他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。

黎曼几何

欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的,只是平行公理不一样。欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。罗氏几何 讲“ 过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。那么是否存在这样的几何“过直线外一点,不能做直线和已知直线平行”?黎曼几何就回答了这个问题。
黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在,开创了几何学的一片新的广阔领域。
黎曼几何中的一条基本规定是:在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在,它的另一条公设讲:直线可以无限延长,但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。
近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里,爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念,他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的,但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释,恰恰与黎曼几何的观念是相似的。
此外,黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。它不仅是微分几何的基础,也应用在微分方程、变分法复变函数论等方面。

研究内蕴几何的学科首属黎曼几何. 黎曼在一次著名的演讲中,创立了这门奠基性的理论。它首次强调了内蕴的思想, 并将所有此前的几何学对象都归纳到更一般的范畴里,内蕴地定义了诸如度量等等的几何概念。 这门几何理论打开了近代几何学的大门, 具有里程碑的意义。它也成为了爱因斯坦的广义相对论的数学基础。

球面几何

球面几何是黎曼几何(椭圆几何)的特例, 正如园是椭圆的特例. 球面几何包括初等数学的球面三角.

影响

非欧几何的产生与发展,在客观上对研究了2000多年的第五公设作了总结,它引起了人们对数学本质的深入探讨,影响着现代自然科学、现代数学和数学哲学的发展:

其一,随着非欧几何的产生,引起了数学家们对几何基础的研究,从而从根本上改变了人们的几何观念,扩大了几何学的研究对象,使几何学的研究对象由图形的性质进入到抽象空间,即更一般的空间形式,使几何的发展进入了一个以抽象为特征的崭新阶段。可以说,非欧几何的产生是数学以直观为基础的时代进入以理性为基础的时代的重要标志。

其二,非欧几何的产生,引起了一些重要数学分支的产生。数学家们围绕着几何的基础问题、几何的真实性问题或者说几何的应用可靠性问题等的讨论,在完善数学基础的过程中,相继出现了一些新的数学分支,如数的概念、分析基础数学基础数理逻辑等,公理化方法也获得了进一步的完善。

其三,非欧几何学的创立为爱因斯坦发展广义相对论提供了思想基础和有力工具,而相对论给物理学带来了一场深刻的革命,动摇了牛顿力学物理学中的统治地位,使人们对客观世界的认识产生了质的飞跃。

其四,非欧几何学使数学哲学的研究进入了一个崭新的历史时期。18世纪和19世纪前半期最具影响的康德哲学,它的自然科学基础支柱之一是欧几里得空间。康德曾经说过:“欧几里得几何是人类心灵内在固有的,因而对于‘现实’空间客观上是合理的。”非欧几何的创立,冲破了传统观念并破除了千百年来的思想习惯,给康德的唯心主义哲学以有力一击,使数学从传统的形而上学的束缚下解放出来。用康托尔的话说“数学的本质在于其自由”。

黎曼几何出发,微分几何进入了新的时代,几何对象扩展到了流形(一种弯曲的几何物体)上--这一概念由庞加莱引入。由此发展出了诸如张量几何、黎曼曲面理论、复几何、霍奇理论、纤维丛理论、芬斯勒几何、莫尔斯理论、形变理论等等。

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