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《现代应用数学手册 离散数学卷》

目录

符号表
集 合 论
1 基本概念
1.1 引言
1.2 集合的古典定义
1.3 集合及其表示法
1.3.1 显式法(枚举法)
1.3.2 隐式法
1.3.3 特征函数法
1.4 子集与集合的包含关系

2 集合代数
2.1 集合上的运算
2.1.1 集合上的基本运算
2.1.2 基本运算的重要性质
2.1.3 集合的对称差
2.1.4 幂集与幂运算
2.2 集合的Venn图

3 关系
3.1 关系及其表示法
3.1.1 集合的Descartes积
3.1.2 n元关系
3.2 二元关系与映射
3.2.1 二元关系
3.2.2 关系运算
3.3 特殊的二元关系
3.3.1 概念
3.3.2 关系的限制与扩充
3.3.3 关系的闭包与闭包运算
3.4 等价关系与划分
3.5 序关系与偏序集
3.5.1 引言
3.5.2 偏序集的性质

4 映射(函数)
4.1 映射(函数)的概念
4.2 复合映射与逆映射
4.3 函数概念的拓展

5 集合的基数
5.1 有限集与无限集
5.2 可列集与不可列集
5.3 集合的基数
5.3.1 基数的比较
5.3.2 Cantor猜想--连续统假设(CH)

6 集合论悖论与公理集合论
6.1 悖论
6.1.1 Burali-Forti悖论(最大序数悖论)
6.1.2 Cantor悖论(最大基数悖论)
6.1.3 Russell悖论
6.1.4 Richard悖论
6.1.5 Berry悖论
6.1.6 Grelling悖论
6.1.7 理发师悖论
6.1.8 Minimanoff悖论
6.2 公理集合论
6.2.1 ZFC系统
6.2.2 注记
6.2.3 GBN系统

组合学与图论
7 若干著名的组合学和图论问题
7.1 幻方与中国古代的传说
7.2 36军官问题和拉丁方
7.3 从Konigsberg 7桥问题与中国邮递员问题
7.4 鸽子笼原理与Ramsey数
7.5 地图着色与四色猜想(定理)
7.6 绕行世界与旅行商问题
7.7 电路与网络
7.8 从分子结构到图的计数
7.9 Kirkman女生问题与三元系
7.10 试验设计与组合设计

8 组合公式和组合数
8.1 二项式系数的基本恒等式
8.2 二项式定理及有关和式
8.3 二阶组合恒等式
8.4 三阶组合恒等式
8.5 广义二项式定理
8.6 多项式系数
8.7 Gauss二项式系数
8.8 排列数
8.9 组合数
8.10 映射数与序列数
8.1l 第一类Stirling数
8.12 第二类Stirling数
8.13 Bell数
8. 14 Fibonacci数
8.15 Lucas数
8.16 Catalan数
8.17 Ramsey数
8.18 Lah数
8.19 Bernoulli数和Euler数

9 组合计数方法与问题
9.1 初等计数原理
9.2 包含与排斥原理
9.3 有限集的子集的计数问题
9.4 置换的计数问题
9.5 集合的划分数
9.6 整数的分拆数
9.7 Burnside引理
9.8 置换群的轮换指标
9.9 Polya定理
9.10 Palya定理的应用
9.10.1 着色问题
9.10.2 布置问题
9.10.3 开关线路与布尔函数的计数问题
9.10.4 图的计数问题
9.11 图的计数

10 图的基本概念与参数
10.1 图的定义与简单分类
10.2 邻接与关联
10.3 度、度序列与边数
10.4 子图
10.5 路与圈
10.6 距离与中心
10.7 图的运算
10.8 图的同构、同态与同胚
10.9 图的独立集、团和覆盖
10.10 一些特殊图类

11 图论中若干问题
11.1 图的连通性
11.1.1 基本概念
11.1.2 连通图的性质
11.2 图的平面性
11.2.1 平面图及有关参数
11.2.2 平面图的条件及性质
11.3 图的拓扑不变量
11.3.1 定向曲面与非定向曲面
11.3.2 图的曲面嵌入与亏格
11.4 图的Hamilton问题
11.4.1 Hamilton图的必要条件
11.4.2 Hamilton图的充分条件
11.4.3 Hamilton图的几个等价条件
11.4.4 图的泛圈性
11.5 图的匹配与因子分解问题
11.5.1 基本概念
11.5.2 图中存在完全匹配的条件
11.5.3 匹配与覆盖的关系
11.6 图的着色问题
11.6.1 点着色与边着色
11.6.2 色数X(G)的性质
11.6.3 边色数X'(G)的性质
11.6.4 平面图的着色
11.6.5 图的运算的色多项式
11.7 图的代数理论

12 离散变换与反演公式
12.1 离散变换的一般形式
12.2 二项式变换
12.2.1 二项式变换的一般形式
12.2.2 常用的二项式变换
12.2.3 应用
12.3 Stirling变换
12.4 Mobius变换
12.4.1 Mobius反演公式的一般形式
12.4.2 整数因子格上的Mobius反演公式
12.4.3 应用
12.4.4 有限集的幂集格上的Mobius反演公式
12.4.5 有限集的划分格上的Mobius反演公式
12.4.6 应用
12.5 离散Fourier变换
12.6 Lagrange变换(反演公式)
12.7 Lah变换(反演公式)

13 组合设计
13.1 区组设计与拉丁方
13.1.1 基本概念
13.1.2 拉丁方与拉丁矩形的计数问题
13.2 正交设计与正交试验设计
13.2.1 正交拉丁方与正交表
13.2.2 正交试验设计与试验用正交表
13.2.3 正交试验表的一般形式
13.2.4 正交拉丁方组的构造方法
13.2.5 应用
13.3 平衡不完全区组设计
13.4 三元系
13.4.1 三元系与Steiner三元系
13.4.2 Steiner三元系的性质
13.4.3 Steiner三元系的构造方法
13.4.4 Steiner三元系大集问题
13.4.5 应用

代数结构与泛代数
14 半群与群
14.1 引言
14.2 半群的定义及例子
14.3 半群的基本性质
14.3.1 半群中元素的表示法
14.3.2 循环半群
14.3.3 可逆元 子半群
14.4 半群的同态与同构
14.5 半群在自动机理论及形式语言中的应用
14.5.1 有限状态机器
14.5.2 由字母表生成的自由单元半群
14.5.3 商单元半群及机器的单元半群
14.6 群的定义及例子
14.7 群的基本性质
14.8 子群
14.9 特殊群
14.9.1 变换群
14.9.2 置换群
14.9.3 循环群
14.10 群的分解
14.10.1 群的陪集分解
14.10.2 正规子群与商群
14.11 群的同态与同构
14.12 群在编码理论中的应用
14.12.1 纠错码及其有关概念
14.12.2 编码与译码
14.12.3 码的检错及纠错能力
14.12.4 利用矩阵及群进行编码及译码
14.12.5 Hamming码

15 环与域
15.1 定义、例子及简单性质
15.2 特殊环
15.2.1 n阶全方阵环
15.2.2 四元数除环
15.3 子环与中心
15.4 理想与商环
15.5 环的同态、同构与反同构
15.6 环的特征
15.7 利用最大理想造域
15.8 环的嵌入
15. 9 分式域
15.10 多项式环
15.11 域的单扩张
15.12 任意域的构造
15.13 代数闭域与多项式的分裂域
15.14 有限域(Galois域)
15.15 可分扩域
15.16 整环中的因子分解
15.16.1 素元、因子与唯一分解
15.16。2 唯一分解整环
15.16.3 多项式环的因子分解
15.17 环论在编码理论中的应用
15.17.1 多项式码
15.17.2 BCH码
15.18 拉丁方与有限几何学

16 模
16.1 定义及例子
16.2 子模与商模
16.3 模同态及基本定理
16.4 加群上的及模上的自同态环
16.5 自由模
16.5.1 定义和性质
16.5.2 自由模的同态与矩阵
16.6 模的直和
16.? 主理想整环上的有限生成模
16.7.1 初步结果
16.7.2 主理想整环上矩阵的等价
16.7.3 主理想整环上有限生成模的构造定理
16.7.4 扭模、准素分量与不变性定理
16.8 应用

17 域上的代数
17.1 结合代数的定义及例子
17.2 外代数
]7.3 结合代数的正则矩阵表示
17.4 非结合代数、李代数及约当代数
17.4.1 非结合代数
17.4.2 李代数
17.4.3 约当代数
17.5 有限维结合可除代数

18 格与Boole代数
18.1 偏序集与格
18.2 子格与格同态
18.3 格的分类
18.4 Boole代数的定义、例子及性质
18.5 Boole代数的构造
18.6 Boole函数及其表达式
18.7 Boole函数的极小化
18.8 Boole函数在电路设计中的应用
18.8.1 开关电路的分析与综合
18.8.2 逻辑门电路

19 范畴与函子
19.1 范畴的定义及例子
19.2 某些基本的范畴概念
19.2.1 子范畴和小范畴
19.2.2 对偶范畴与积范畴
19.2.3 同构态射与等价对象
19.2.4 始对象与终对象
19.2.5 单态射与满态射
19.3 对偶原则
19.4 函子
19.5 自然变换
19.6 范畴的等价
19.7 积与上积
19.8 核与上核
19.9 拉回与推出
19.10 hom函子与可表示函子
19.11 加法范畴与Abel范畴
19. 12 通用结构
19.13 伴随函子

20 泛代数
20.1 代数
20.2 子代数与积
20.3 同态与同余
20.4 同余格与子直积
20.5 正向极限与逆向极限
20.6 超积
20.7 自由代数
20.8 簇

数理逻辑
21 标准(古典)命题逻辑
21.1 命题符号化
21.2 命题联结词,真
21.3 其他联结词
21.4 联结词的功能完备集(完全集)
21.5 命题形式与等价(等值)演算
21.5.1 命题形式(合式公式)
21.5.2 命题等值式(等价式)
21.5.3 等值演算的几个重要定理
21.5.4 等值演算中常用的命题等值式与重言式
21.6 范式与真值表技术
21.7 命题逻辑的推理系统 命题演算
21.7.1 公理系统L
21.7.2 自然推理系统G
21.7.3 其他形式系统

22 标准(古典)谓词逻辑
22.1 谓词与量词
22.2 函数,项与合式公式(谓词公式)
22.3 结构,可满足性,真值,模型
22.4 谓词公式(命题函数)与等值演算
22.5 谓词逻辑的推理系统
22。5.1 一阶理论K(K)
22.5.2 一阶理论的性质
22.5.3 完全性定理
22.5.4 前束范式
22.5.5 带等词的一阶理论

23 非标准(非古典)逻辑
23.1 引言
23.2 模态逻辑
23.2.1 模态命题逻辑系统
23.2.2 模态命题逻辑的语义及普效性
23.2.3 模态谓词逻辑系统
23.3 多值逻辑
23.3.1 3-值命题逻辑
23.3.2 多值命题逻辑
23.3.3 多值命题逻辑的重言式与特指真值(特指值)
23.3.4 多值命题逻辑的公理系统

附录
中文一外文名词索引
外文-中文名词索引
外国人名表
参考文献 
参阅
  1. 数学 - 数学符号 - 数学索引
  2. 手册 = 中学数学手册 + 数学手册 + 实用数学手册
  3. 初等数学 = 中学数学 = 初中数学 + 高中数学
  4. 高等数学 = 基础数学 ( 代数 + 几何 + 分析 ) + 应用数学
  5. 公式 - 图表 - 动画 - 立体图
  6. 书单 = 数学 + 物理 + 化学 + 计算机 + 医学 + 英语 - QQ群614057790下载书
  7. 数学手册计算器 = 数学 + 手册 + 计算器 + 计算机代数系统
  8. 例题:

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