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拓扑学

二级学科, 专业名称:拓扑学,   门类/类别:理学     学科/类别:数学

在数学里,拓扑学(英语:topology),或意译为位相几何学,又称“连续几何学”, 是一门研究拓扑空间的学科,主要研究空间内,在连续变化(如拉伸或弯曲,但不包括撕开或黏合)下维持不变的性质。在拓扑学里,重要的拓扑性质包括连通性与紧致性。

拓扑学是由几何学与集合论里发展出来的学科,研究空间、维度与变换等概念。这些词汇的来源可追溯至哥特佛莱德·莱布尼兹,他在17世纪提出“位置的几何学”(geometria situs)和“位相分析”(analysis situs)的说法。莱昂哈德·欧拉的柯尼斯堡七桥问题与 欧拉示性数被认为是该领域最初的定理。“拓扑学”一词由利斯廷于19世纪提出,虽然直到20世纪初,拓扑空间的概念才开始发展起来。到了20世纪中叶,拓扑学已成为数学的一大分支.

三级学科

▪ 3110:点集拓扑学 ▪ 3115:代数拓扑学 ▪ 3120:同伦论
▪ 3125:低维拓扑学 ▪ 3130:同调论 ▪ 3135:维数论
▪ 3140:格上拓扑学 ▪ 3145:纤维丛论 ▪ 3150:几何拓扑学
▪ 3155:奇点理论 ▪ 3160:微分拓扑学 ▪ 3199:拓扑学其他学科

分支

◾一般拓扑学 - 建立拓扑的基础,并研究拓扑空间的性质,以及与拓扑空间相关的概念。一般拓扑学亦被称为点集拓扑学,被用于其他数学领域(如紧致性与连通性等主题)之中。
◾代数拓扑学 - 运用同调与同伦群等代数结构量测连通性的程度。
◾微分拓扑学 - 研究在微分流形上的可微函数,与微分几何密切相关,并一齐组成微分流形的几何理论。
◾几何拓扑学 - 主要研究流形与其对其他流形的嵌入。几何拓扑学中一个特别活跃的领域为“低维拓扑学”,研究四维以下的流形。几何拓扑学亦包括“纽结理论”,研究数学上的纽结。

应用

生物学

纽结理论是拓扑学的一个分支,用于生物学中,以研究DNA内特定酵素的影响。这些酵素会切断、扭曲且重新连接DNA,形成电泳速率较慢的可观察结果[15]。拓扑学也被用于演化生物学里,以表示表现型与基因型间的关系。基因型的改变对表现型的改变之影响方式, 可决定是否只需少数的突变,即可呈现出极为不同的表现型来。

计算机科学

拓扑数据分析使用代数拓扑学里的技术,以确认一个集合的大尺度结构(如确认许多点组成的云是球形或环形)。拓扑数据分析使用的主要方法为:
1.将一组数据线以单纯复形替代,并以邻近参数索引。
2.使用代数拓扑学(具体来说,是使用持续同调的理论)分析这些拓扑复形。
3.以参数形式的贝蒂数编码一组数据的持续同调,称之为“条码”。

物理学

在物理学里,拓扑学被用于量子场论及宇宙论等领域。 拓扑量子场论(或称拓扑场论)是一个用来计算拓扑不变量的量子场论。 虽然拓扑量子场论是由物理学家所发明,但亦与数学相关,与代数拓扑学里的纽结理论及四维流形之理论,以及代数几何里的模空间之理论等,均有关连。唐纳森、琼斯、维腾与孔采维奇等菲尔兹奖得主,其工作均与拓扑场论有关。

在宇宙论里,拓扑学可用来描述宇宙的整体形状。这个领域被称为时空拓扑学。

机器人

机器人的各种可能姿势可透过被称为位形空间的流形来描述。在运动规划里,会找出在位形空间内两个点间的路径。这些路径表示机器人关节等部分移至所需位置与姿势的运动。

书单

  • 数学分析讲义
  • 高等数学讲义
  • 拓扑学

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